对条件概率的理解

首先思考这样一个问题。当事件A与事件B不独立的时候,条件概率P(A | B) 与P(A)的值,为什么不相等?

基于当前对于此问题的认识,分析如下。

当事件A与事件B不独立的时候,条件概率P(A | B) 与P(A)的值不相等的原因,有两种情况:

  1. 条件B改变了求事件A发生的样本空间的范围。

比如,有10个学生,其中有6人汉族,4人少数民族。汉族中有2人是女生,少数民族中有1人是女生。现在随机抽取一名学生,设事件A表示抽取的是女生,事件B表示抽取的学生是汉族。

则P(A) = 3 / 10,样本空间是这10个学生。

但是P(A | B) = 2 / 6 = 1 / 3,因为条件B把样本空间的范围从10人变成了6人。

通过这个例子也能够体会到,事件A与事件B是不独立的,以及二者是如何相互影响的。(其实P(B | A) = 2 /3 同样不等于P(B) = 6 / 10,还是因为样本范围的变化,所以说二者相互影响)。再找一个与A独立的事件的例子,体会一下与A相互独立的事件,对样本空间是没有影响的。举例:若任意一名学生考上大学的概率都是9 / 10,设C表示抽取出的学生考上了大学。求P(A | C)。可以想到P(A | C) =  P(A) = 3 / 10。A和C同时发生的概率P(AC) = P(A | C) *  P(C) = P(A) *  P(C) = 3 / 10 * 9 / 10。

事件C对于事件A发生的样本空间是没有影响的,从具体含义上来看,这两个事件也确实是相互独立的。

  • 条件B改变了发生事件A的样本的内在属性。

这种情况需要看一下具体的例子,才能理解是什么含义。

比如浙大第四版《概率论与数理统计》教材中,有一个例题是关于透镜落到地上摔破的概率的(P17例4)。同一个透镜,第一次落到地上摔破的概率为1/2,若第一次没有打破,第二次落地上摔破的概率就变成了7/10,若前两次没有打破,第三次落地上打破的概率变成9/10。

这个例子中,事件A和事件B都是透镜落到地上没有打破。根据题意有:

P(B) = 1/2,P(B | A) = 3/10

这个场景里,条件A并没有改变事件B发生的样本空间,但是改变了参与实验的样本自身的内在属性,因为第一次没打破,也破坏了该样本的坚固程度,第二次没有打破的概率就与第一次不同了。

关于样本空间没有变化这一点,在这个例子中,没有上一个10名学生的例子那么直观。可以这样来思考:

设有足够多的相互之间完全一样的透镜,拿出足够大的数目作为实验样本,比如拿出10000个透镜组成样本空间X,进行落地实验。发现摔破了5000个,即落到地上摔破的概率为1/2。

再拿出足够多的透镜进行落地实验,把第一次没有摔破的透镜收集起来,直到收集到10000个第一次没有摔破的透镜,这10000个透镜组成了样本空间Y,基于样本空间Y进行落地实验,发现摔破了7000个,即第二次落地上摔破的概率就变成了7/10。

样本空间X和样本空间Y的范围并没有变化,但其中的样本自身内部属性发生了变化,从而导致概率结果的不同。

类似的例子还有乒乓球比赛,同一个队员,第一场比赛的胜率和第一场比赛输了,第二场比赛的胜率应该不同,因为第一场比赛的失利会影响这名队员的心态,队员样本还是同一个,但是内在属性不同了。

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